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九年级(下册)北师大版初中数学定理知识点汇总
第一章 直角三角形边的关系
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第二章 二次函数
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第三章 圆
一. 车轮为什么做成圆形
1. 圆的定义：
描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”
集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。
对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；
②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。
2. 点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则
①点在圆上 d=r;②点在圆内 d d>r.
其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。
二. 圆的对称性:
1. 与圆相关的概念：
①弦和直径：
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。
②弧、半圆、优弧、劣弧：
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，
读作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。
优弧：大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)
③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。
④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.
2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：
①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
4. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
三. 圆周角和圆心角的关系:
1. 1°的弧的概念: 把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1°的圆心角,相应的整个圆也被等分成360份,每一份同样的弧叫1°弧.
2. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.
这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成∠AOB= ,这是错误的.
3. 圆周角的定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.
4. 圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；
推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；
四. 确定圆的条件:
1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件: 圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.
2. 经过三点作圆要分两种情况:
(1) 经过同一直线上的三点不能作圆.(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.
定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.
3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:
(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,
这个三角形叫做圆的内接三角形.
(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.
五. 直线与圆的位置关系
1. 直线和圆相交、相切相离的定义:
(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.
(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.
(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.
2. 直线与圆的位置关系的数量特征:
设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；
①d 直线L和⊙O相交.②d=r直线L和⊙O相切.③d>r 直线L和⊙O相离.
3. 切线的总判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.
4. 切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径.
推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:
如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.
①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.
5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.
6. 三角形内心的性质:
(1)三角形的内心到三边的距离相等. (2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.
由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.
六. 圆和圆的位置关系.
1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.
(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.
(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.
(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.
(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.
(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例.
2. 两圆位置关系的性质与判定:
(1)两圆外离 d>R+r (2)两圆外切 d=R+r
(3)两圆相交 R-rd=R-r (R>r)
(5)两圆内含 dr)
3. 相切两圆的性质: 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.
4. 相交两圆的性质: 相交两圆的连心线垂直平分公共弦.
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发表于 2013-6-14 21:04:29
